Ни о какой безапелляционности в моих высказываниях не может быть и речи!

Две математические задачки из блога Тани Ховановой. Обе не дико сложные, решаются, но надо как следует вдуматься, этим и понравились.

1. Квадрат разделили на 100 частей одинаковой площади (необязательно одинаковой формы), а потом еще раз разделили на 100 частей одинаковой площади, но по-другому. Доказать, что можно найти 100 точек так, что внутри каждой части из первого разделения и внутри каждой части из второго будет ровно одна точка из этого набора.

2. На плоскости отметили конечное число точек так, что расстояния между парами точек не повторяются (иными словами, расстояние между точками A и B не равно расстоянию между любыми двумя другими точками, даже если одна из них A или B). Каждую точку соединили с самой близкой к ней. Доказать, что каждая точка в итоге соединена самое большее с 5 другими.

Забавная геометрическая задачка от математика Диего Раттажжи.

Три задачки разной степени сложности, но все непростые. Не закрываю комментарии. Кажется, все - из ФБ-группы головоломок.

1. Не судоку! Надо вписать цифры 1,2,3,4 в некоторые пустые клетки, так чтобы выполнялись два условия:

- в каждой строке и в каждом столбце цифры 1,2,3,4 встречаются ровно по одному разу
- в каждом квадратике 2x2 из соседних клеток хотя бы одна (из этих четырех клеток квадратика) остается пустой

У задачи есть единственное верное решение.



2. Эта версия известной задачи про сумму и произведение возрастов детей принадлежит покойному Джону Конвею.

Вчера вечером в автобусе я услышал разговор двух волшебников:
A: «У меня целое положительное количество детей; возраст каждого из них - натуральное число. Если ты сложишь их возраста, то получишь номер этого автобуса. Если ты перемножишь их возраста, то получишь мой собственный возраст».
Б: «Как интересно! Если ты назовешь свой возраст и скажешь, сколько у тебя детей, смогу ли я узнать их возраста?»
A: «Нет, не сможешь!»
Б: «Ага! Но теперь я знаю, сколько тебе лет!»
Какой номер у автобуса?

3. Дана последовательность чисел, определенная следующим образом:

a_1 = a_2 = 1, a_{n+1} = 14a_n - a_{n-1} - 4

Доказать, что все ее члены - точные квадраты.

Вот любопытный вопрос, который заставляет думать про вероятности и проверять свою интуицию там.

Алиса бросает обычный кубик (игральную кость), пока у нее не выпадут подряд числа 4,5,6, и после этого останавливается. Боб бросает такой же кубик, пока у него не выпадут подряд 6,6,6, и останавливается. Кто из них в среднем сделает меньше бросков? Желательно обосновать свой ответ.

Я не буду скрывать комментарии - не заглядывайте, если хотите сами подумать. Строгое доказательство требует определенных знаний в теории вероятности, но для интуитивный аргумент может обойтись и без них, мне кажется.

Если вы математик или сочувствующий и хотите еще, то два бонус-вопроса:

1. Чему равно ожидание количества бросков для Алисы и для Боба?
2. Те же вопросы про последовательности 5,5,6 и 5,6,5.


P.S. За вопрос спасибо юзеру utnapishti. Это было из личного общения, а не из его журнала, но в его журнале тоже много интересного.

Красивая задачка от Тани Ховановой. Тяжелее, чем кажется на первый взгляд.

Учитель написал на доске четыре положительных числа и дал задание ученикам вычислить произведение любых двух из них. Из шести возможных пар ученики вычислили только пять произведений, и результаты оказались: 2, 3, 4, 5, 6. Какое произведение осталось невычисленным? Какие четыре числа были написаны на доске?

Update: все комментарии открыты, в них есть много правильных решений, всем спасибо.

Две задачки, одна легкая, другая менее легкая.

1. Фермер поехал на рынок продавать апельсины и лимоны. Они упакованы в три ящика: апельсины в ящике с наклейкой "апельсины", лимоны в ящике с наклейкой "лимоны", а в третьем ящике смесь того и другого с наклейкой "апельсины и лимоны". По дороге дочка фермера поменяла все наклейки местами. Когда отец попросил ее вернуть все обратно, она предложила ему загадку: он сам догадается, в каком ящике что, но для этого он может достать только ОДИН фрукт наугад из ОДНОГО ящика. Помогите фермеру! Заглядывать в ящики, нюхать итд. запрещено.

2. Вы потерялись в пустынной австралийской равнине Налларбор. К счастью, вы только что услышали свисток поезда - он звучал точно на запад от вас. Вы не видите поезд, он слишком далеко, но знаете, что он идет по очень длинной прямой колее (которую вы тоже не видите и не знаете, где она проходит). У вас есть только один шанс избежать смерти от жажды - достичь колеи до того, как поезд пройдет по ней. Предполагается, что и поезд, и вы движутся с постоянными (разными, разумеется) скоростями. В каком направлении вам следует идти?

P.S. Если вас слишком смущает знание того, как на самом деле проходит железная дорога в равнине Налларбор (по условиям вы этого не знаете), представьте себе, что вы не знаете, где стороны света, и просто слышите свист поезда из какого-то направления. Куда относительно этого направления следует идти, чтобы как можно больше были шансы выжить? В этом суть вопроса, "запад" сказано просто для наглядности.

Еще раз: знание конкретной географии не имеет отношения к задаче. У вас давно кончилась вода, вокруг совершенно одинаковая пустыня, вы услышали свист поезда, вы помните, что в этой пустыне проходит прямая колея, но понятия не имеете, где. Куда побежите из последних сил, стремясь поймать поезд, если это вообще возможно? Надеюсь, понятно, что не прямо на звук, но куда? Очень практический вопрос.

Комментарии скрывать не буду, учтите, что там скоро появятся правильные ответы.

Продолжаем решать задачи Международной Математической Олимпиады-2019. Задачу P2 не решил никто. Сегодня задача P3.



Как и раньше, прошу постить только собственные идеи/решения. Комменты скринятся на сутки, потом открываю.

Update: Комментарии открыты. Решение есть только одно, от emhanik, зато правильное (насколько могу судить), браво!

Продолжаем решать задачи Международной Математической Олимпиады-2019. Задачу P4 решило около 10 человек, комменты открыты. Сегодня задача P1.



Как и раньше, прошу постить только собственные идеи/решения. Комменты скринятся на сутки, потом открываю.

Update. Комменты открыты, много решений, но обратите внимание, что большинство из них, включая моё, упустили тривиальное решение f=0. Задним умом вполне понятно, почему и где, но думаю, что на олимпиаде с нас бы сняли за это пару очков :) Тем больше уважения тем, кто решили целиком правильно и не упустили его (первым из них был urod).

Закончилась Международная Математическая Олимпиада-2019, и я вчера с привычной опаской пошел посмотреть на ее задачи. Оказалось, что по крайней мере некоторые из них в этом году находятся в пределах досягаемости простых смертных, или так мне кажется, по крайней мере. Давайте попробуем вместе над ними подумать?

Я буду постить сюда по одной задаче в день. Если вы хотите предложить свое решение, полное или неполное, пишите в комментариях. Я заскриню комментарии на сутки, а после этого ВСЕ ОТКРОЮ, учтите, опасайтесь спойлеров. Update: РАСКРЫТО. Первым правильный ответ дал relf, и есть еще много других правильных.

Есть хардкорные форумы в интернете, посвященные знают, где наверняка всем этим задачам уже нашли решения. Я туда сам смотреть не буду, и прошу оттуда идеи/решения не постить - только ваши собственные.

Итак, пятая задача (всего их шесть, я начинаю с той, которая легче других, на мой субъективный взгляд). Очень милая, должна программистам понравиться, мне кажется. Комменты скрываются до завтра. Чтобы прочитать с увеличенным шрифтом, можно нажать на картинку. Я запощу свое решение завтра (надеюсь, что правильное), и раскрою комментарии.