![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Несколько дней назад поучаствовал в одной дискуссии по-английски, о теоремах о неполноте Гёделя. Всплыли некоторые старые мысли и впечатления из этой области... несколько лет об этом не думал.
В частности, зашел разговор об учебниках логики, и меня искренне поразила чья-то рекомендация учебника Манина. Учебник логики Манина - для меня в каком-то смысле анти-книга: она написана в таком стиле, и составлена в таком порядке, который вызывает у меня отвращение. Она эклектична там, где эклектичность противопоказана, прыгает беспорядочно от темы к теме, пропускает самое интересное во многих темах, а в других местах погружается в скучные и ненужные технические подробности, которых можно было бы избежать. Если бы я по ней учил логику, то в голове образовался бы полный конфуз, убежден. При этом я понимаю, конечно, что есть люди, которые ее любят и считают ее лучшим учебником. И многие из этих людей наверняка все знают и понимают лучше меня. Это можно как-то объяснить, если постараться (в смысле, я могу себе это психологически объяснить), но все равно остается ощущение того, что это очень странно.
Моя идеальная книга для изучения мат. логики - A Mathematical Introduction to Logic Эндертона. Она не очень много покрывает материала; если надо больше, то Shoenfield хорош. Конкретно по теме теорем о неполноте - Goedel's Incompleteness Theorems Smullyan'а.
Именно у Смаллиана в свое время я отметил аргумент, который регулярно с тех вспоминаю как образец блестящей мысли, задним умом совершенно, казалось бы, очевидной, но до тех пор мне нигде не встречавшейся (и сам конечно до этого не додумался).
Вторая теорема о неполноте говорит, что любая достаточно сложная аксиоматическая система, если она непротиворечива, не может доказать собственную непротиворечивость. Если в системе есть противоречие, то она может доказать вообще все угодно, включая собственную непротиворечивость, только толку в этом мало. Просто противоречивая система доказывает любое утверждение, истинное или ложное, включая утверждение о своей непротиворечивости. Но если система непротиворечива, то вторая теорема о неполноте говорит, что этот факт о себе она доказать не может.
Смаллиан пишет, что его раздражает то, как эту теорему часто представляют в виде чего-то, что лишает нас возможности убедиться в непротиворечивости. Возьмем для примера теорию множеств. Согласно второй теореме Геделя теория множеств не может доказать свою непротиворечивость, и часто именно об этом сокрушаются, рассуждая о том, как результаты Геделя определили предел тому, что мы можем надеяться доказать.
Но - тут начинается главная мысль Смаллиана - это на самом деле совершенно нелогичная точка зрения. ( Read more... )
В частности, зашел разговор об учебниках логики, и меня искренне поразила чья-то рекомендация учебника Манина. Учебник логики Манина - для меня в каком-то смысле анти-книга: она написана в таком стиле, и составлена в таком порядке, который вызывает у меня отвращение. Она эклектична там, где эклектичность противопоказана, прыгает беспорядочно от темы к теме, пропускает самое интересное во многих темах, а в других местах погружается в скучные и ненужные технические подробности, которых можно было бы избежать. Если бы я по ней учил логику, то в голове образовался бы полный конфуз, убежден. При этом я понимаю, конечно, что есть люди, которые ее любят и считают ее лучшим учебником. И многие из этих людей наверняка все знают и понимают лучше меня. Это можно как-то объяснить, если постараться (в смысле, я могу себе это психологически объяснить), но все равно остается ощущение того, что это очень странно.
Моя идеальная книга для изучения мат. логики - A Mathematical Introduction to Logic Эндертона. Она не очень много покрывает материала; если надо больше, то Shoenfield хорош. Конкретно по теме теорем о неполноте - Goedel's Incompleteness Theorems Smullyan'а.
Именно у Смаллиана в свое время я отметил аргумент, который регулярно с тех вспоминаю как образец блестящей мысли, задним умом совершенно, казалось бы, очевидной, но до тех пор мне нигде не встречавшейся (и сам конечно до этого не додумался).
Вторая теорема о неполноте говорит, что любая достаточно сложная аксиоматическая система, если она непротиворечива, не может доказать собственную непротиворечивость. Если в системе есть противоречие, то она может доказать вообще все угодно, включая собственную непротиворечивость, только толку в этом мало. Просто противоречивая система доказывает любое утверждение, истинное или ложное, включая утверждение о своей непротиворечивости. Но если система непротиворечива, то вторая теорема о неполноте говорит, что этот факт о себе она доказать не может.
Смаллиан пишет, что его раздражает то, как эту теорему часто представляют в виде чего-то, что лишает нас возможности убедиться в непротиворечивости. Возьмем для примера теорию множеств. Согласно второй теореме Геделя теория множеств не может доказать свою непротиворечивость, и часто именно об этом сокрушаются, рассуждая о том, как результаты Геделя определили предел тому, что мы можем надеяться доказать.
Но - тут начинается главная мысль Смаллиана - это на самом деле совершенно нелогичная точка зрения. ( Read more... )
