![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Попался вопрос: "Как вы думаете, если случайно выбрать отрезок внутри квадрата 1x1 - его длина будет сильно меньше 0.5, сильно больше 0.5, примерно 0.5?"
Я не буду делать опрос, но подумайте, если вам интересно. Моя интуиция сказала мне "сильно меньше 0.5". Точный ответ в конце поста.
Сразу захотелось это самому решить. Формализовать задачу можно так: выбираем случайным образом координаты двух точек внутри единичного квадрата на плоскости (квадрата с углами 0,0 - 1,0 - 1,1 - 0,1). Всего выбрано четыре случайных числа между 0 и 1 каждое, независимо друг от друга. Каково матожидание длины отрезка между двумя точками?
Это записывается очевидным образом в виде "четверного" интеграла по переменным x1,y1,x2,y2 - каждая от 0 до 1 - а под интегралом расстояние между точками (x1,y1) и (x2,y2), т.е. sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2). Как вычислить этот интеграл?
Перед тем, как ломать над ним голову, мне пришла в голову счастливая мысль: я могу оценить его значения одной строкой на Питоне. В последнее время я стараюсь культивировать в себе стремление "потрогать руками" вопросы без ответов, оценить их численно, особенно если это легко, попробовать их на зуб, поменять разные параметры, поковыряться. Мне нелегко это дается - естественное стремление всегда это найти чистое математическое доказательство. Но по-моему те, кто начинают с грубой численной оценки, спят спокойнее и видят дальше.
Строка на Питоне такая:
> python -i
import numpy as np
from numpy.random import random as r
np.mean(np.sqrt(np.square(r(1000)-r(1000)) + np.square(r(1000)-r(1000))))
Объяснение для тех, кто не знает питон/numpy: здесь r(1000) генерирует вектор из 1000 случайных чисел между 0 и 1, а минус, плюс, square(), sqrt(), mean() работают на векторах по-элементно. Так что эта строка создает 1000 пар точек, находит расстояние между каждой парой и берет среднее арифметическое тысячи расстояний.
Интеграл я сам не осилил (вообще в интегралах очень слаб, но поэтому и захотелось разобраться, в частности), и пошел искать подсказок. Нашел как точный ответ, так и достаточно объяснений о том, как его вычислить, так что смог сам ручкой на бумаге медленно разобраться и все подробности себе объяснить. Точный ответ поражает своей неуклюжестью: в нем соседствуют не только квадратный корень из двух и натуральный логарифм, но и совсем непонятные числа типа 15:
(2+sqrt(2)+5*ln(1+sqrt(2))) / 15
Интересно, что при всем обилии математических видео в Ютубе я не нашел видео, которое объясняло бы от начала до конца, со всеми подробностями, вывод этого ответа. Даже замечательный Майкл Пенн, посвятивший этому вопросу 20-минутное видео, в конце заканчивает так: "ну тут осталось несколько интегралов, про каждый из которых можно записать отдельное видео... короче, если их решить, окончательный ответ будет вот такой". По-моему, он пошел слишком длинной дорогой - это не так уж страшно в итоге. Если кто-то хочет, чтобы я написал подробное объяснение, мигните в комментариях, постараюсь найти время, если будет спрос.
Да, и последнее. Я корпел, корпел и дошел до ответа на бумаге - и он оказался неправильный, похожий на тот, что выше, но не совсем; и численное значение отличалось. Очевидно, где-то была ошибка, но я не мог ее найти. Вспомнив про культуру вычисления (см. выше), я устроил себе такой "дебаггинг": написал на питоне простую функцию интеграции в три строки (оценка по разбиению на N=1000 интервалов), и один из другим ввел в скрипт вычисление промежуточных интегралов и выкладок, которые у меня записаны были на бумаге. Когда конечное значение после очередного шага расходилось с правильным, я знал, что в выкладках "баг". Так нашлись две мелкие ошибки, после исправления которых все вышло правильно. Мне этот процесс откровенно понравился.
А, да, по-настоящему последнее. Средняя длина отрезка внутри квадрата 1x1 равна примерно 0.52.
Я не буду делать опрос, но подумайте, если вам интересно. Моя интуиция сказала мне "сильно меньше 0.5". Точный ответ в конце поста.
Сразу захотелось это самому решить. Формализовать задачу можно так: выбираем случайным образом координаты двух точек внутри единичного квадрата на плоскости (квадрата с углами 0,0 - 1,0 - 1,1 - 0,1). Всего выбрано четыре случайных числа между 0 и 1 каждое, независимо друг от друга. Каково матожидание длины отрезка между двумя точками?
Это записывается очевидным образом в виде "четверного" интеграла по переменным x1,y1,x2,y2 - каждая от 0 до 1 - а под интегралом расстояние между точками (x1,y1) и (x2,y2), т.е. sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2). Как вычислить этот интеграл?
Перед тем, как ломать над ним голову, мне пришла в голову счастливая мысль: я могу оценить его значения одной строкой на Питоне. В последнее время я стараюсь культивировать в себе стремление "потрогать руками" вопросы без ответов, оценить их численно, особенно если это легко, попробовать их на зуб, поменять разные параметры, поковыряться. Мне нелегко это дается - естественное стремление всегда это найти чистое математическое доказательство. Но по-моему те, кто начинают с грубой численной оценки, спят спокойнее и видят дальше.
Строка на Питоне такая:
> python -i
import numpy as np
from numpy.random import random as r
np.mean(np.sqrt(np.square(r(1000)-r(1000)) + np.square(r(1000)-r(1000))))
Объяснение для тех, кто не знает питон/numpy: здесь r(1000) генерирует вектор из 1000 случайных чисел между 0 и 1, а минус, плюс, square(), sqrt(), mean() работают на векторах по-элементно. Так что эта строка создает 1000 пар точек, находит расстояние между каждой парой и берет среднее арифметическое тысячи расстояний.
Интеграл я сам не осилил (вообще в интегралах очень слаб, но поэтому и захотелось разобраться, в частности), и пошел искать подсказок. Нашел как точный ответ, так и достаточно объяснений о том, как его вычислить, так что смог сам ручкой на бумаге медленно разобраться и все подробности себе объяснить. Точный ответ поражает своей неуклюжестью: в нем соседствуют не только квадратный корень из двух и натуральный логарифм, но и совсем непонятные числа типа 15:
(2+sqrt(2)+5*ln(1+sqrt(2))) / 15
Интересно, что при всем обилии математических видео в Ютубе я не нашел видео, которое объясняло бы от начала до конца, со всеми подробностями, вывод этого ответа. Даже замечательный Майкл Пенн, посвятивший этому вопросу 20-минутное видео, в конце заканчивает так: "ну тут осталось несколько интегралов, про каждый из которых можно записать отдельное видео... короче, если их решить, окончательный ответ будет вот такой". По-моему, он пошел слишком длинной дорогой - это не так уж страшно в итоге. Если кто-то хочет, чтобы я написал подробное объяснение, мигните в комментариях, постараюсь найти время, если будет спрос.
Да, и последнее. Я корпел, корпел и дошел до ответа на бумаге - и он оказался неправильный, похожий на тот, что выше, но не совсем; и численное значение отличалось. Очевидно, где-то была ошибка, но я не мог ее найти. Вспомнив про культуру вычисления (см. выше), я устроил себе такой "дебаггинг": написал на питоне простую функцию интеграции в три строки (оценка по разбиению на N=1000 интервалов), и один из другим ввел в скрипт вычисление промежуточных интегралов и выкладок, которые у меня записаны были на бумаге. Когда конечное значение после очередного шага расходилось с правильным, я знал, что в выкладках "баг". Так нашлись две мелкие ошибки, после исправления которых все вышло правильно. Мне этот процесс откровенно понравился.
А, да, по-настоящему последнее. Средняя длина отрезка внутри квадрата 1x1 равна примерно 0.52.
