Ни о какой безапелляционности в моих высказываниях не может быть и речи!

На днях узнал, что в древней Индии знали о потрясающе точной и простой формуле, дающей примерное значение косинуса: (π^2-4x^2)/(π^2+x^2), x в радианах. Если нарисовать на графике косинус и эту функцию, на промежутке [-π/2,π/2], то невооруженным глазом не увидеть разницы, такая она хорошая. Ошибка появляется в третьем знаке после запятой, да и там меньше 0.002.

Захотелось побольше узнать об истории этой формулы, и вот что я разыскал.

В 7-м веке нашей эры жил в Индии математик по имени Бхаскара. Сейчас его называют Бхаскара-I, чтобы не путать с Бхаскара-II, который жил на 500 лет позже и был знаменитым средневековым индийским математиком.

Бхаскара-I оставил после себя сборник комментариев к Арьябхате, его предшественнику и основателю традиции индийской математик и астрономии. Арьябхата жил на 150 лет раньше. Вы будете смеяться, но его тоже долго путали с другим Арьябхатой, который жил на 400 лет позже, и которого сейчас называют Арьябхата-II.

После книги комментариев к Арьябхате, Бхаскара-I написал сочинение, которое называют "Махабхаскария" (маха - большой), и в нем впервые появляется эта формула для вычисления синуса, Арьябхата о ней не знал. В его книге описано приближенное вычисление синуса в промежутках по 225 минут, так называемые синусо-вычеты (три градуса 45 минут; в 180 градусов укладываются 48 таких промежутков). Для угла в 3°45' дается дробь, близкая к его синусу, а потом для каждого следующего - формула, позволяющая вычислить из предыдущих. Это красивое изобретение, но намного менее точное, чем формула Бхаскары.

Вероятно, это значит, что Бхаскара ее придумал, хотя возможно и то, что он суммирует достижения других математиков, труды и имена которых не дошли до нас. Все эти древнеиндийские сочинения написано крайне сжатым языком, в виде стихов (!) на санскрите, которые дают только самое важную информацию, в максимально сокращенном виде. Там нет рассуждений о том, кто это на самом деле придумал и как.

Синусы и косинусы нужны были Арьябхате, Бхаскаре и другим индийским математикам, чтобы вычислять движение планет по небосводу, и особенно период обращения вокруг Земли. Модель эпициклов - движения планет и Солнца по кругам, центры которых в свою очередь движутся по кругам - дошла до Арьябхаты скорее всего от древнегреческого астронома Птолемея (2-й век нашей эры).

Бхаскара пользовался градусами, а не радианами, и формула была для вычисления синуса, а не косинуса. Если x - это угол в градусах, то синус в этом приближении равен

4x(180-x) / (40500 - 4x(180-x))

Древнеиндийские математические сочинения были записаны в виде стихов на санскрите, обычно куплетами из двух строчек, по 16 слогов в каждой; каждый такой куплет называется "шлока". Все, что есть в трактате Бхаскары про вычисление синуса, умещается всего в три шлоки, и вот они:

मख्यादिरहितं कर्मं वक्ष्यते तत्समासतः।
चक्रार्धांशकसमूहाद्विधोध्या ये भुजांशकाः॥१७॥

तच्छेषगुणिता द्विष्टाः शोध्याः खाभ्रेषुखाब्धितः।
चतुर्थांशेन शेषस्य द्विष्ठमन्त्य फलं हतम् ॥१८॥

बाहुकोट्योः फलं कृत्स्नं क्रमोत्क्रमगुणस्य वा।
लभ्यते चन्द्रतीक्ष्णांश्वोस्ताराणां वापि तत्त्वतः ॥१९॥

В каждой школе первая строка заканчивается символом ।, обозначающим паузу, а вторая двумя символами ॥, между которыми стоит номер шлоки (17,18,19 в данном случае; узнаете что-то похожее на обратную девятку в числе 19: १९?)

Мне стало интересно, как именно описан в стихах этот процесс вычисления синуса, и я нашел переводы, сравнил несколько версий итд. Это выглядит примерно так (не дословно, но близко к тексту):

"Берем угол в градусах, вычитаем из полукруга (т.е. 180 градусов), и умножаем на самое себя. То, что получилось, пишем дважды. Первую копию вычитаем из 40500, потом берем одну четвертую того, что получилось, и делим на это вторую копию"

Но чего-то мне еще не хватало. В формуле косинуса с радианами, с которой я начал, нет больших чисел, но в формуле оригинала есть число 40500. Как именно они описывают его в этих стихах, так и говорят скажем на санскрите "сорок тысяч пятьсот?" Пытаясь найти перевод слово-в-слово (я не знаю санскрит вообще), я наткнулся на книгу (Kim Plofker, Mathematics in Ancient India), где сказано, что в оригинале это число указано как "небо-облако-стрела-небо-океан", но не объясняется почему.

Это я уже совсем не мог оставить так, что за небо-облако?

Оказалось, что среди нескольких разных способов записывать числа, которыми пользовались в древнеиндийской математике, была система (Bhutasamkhya system), в которой для каждой цифры можно было выбрать одно из примерно десятка слов, связанных с ней символически; например стрела это 5, потому что бог любви Кама-дева носит с собой колчан с пятью стрелами. Далее, цифры записывались в обратном порядке. Поэтому

небо-облако-стрела-небо-океан
0-0-5-0-4

Почему и небо и облако ноль тут? Наверное, чтобы не говорить "небо" два раза подряд. Это стихи!

Когда я разобрался в этом, меня поразило вдруг то, на что я собственно смотрю. Это седьмой век, всего пару сотен лет назад развалилась Римская империя. За полмира от ее развалин, в Индии, ученый по имени Бхаскара записывает - словами, в стихах - число 40,500, используя *позиционную* запись, разряд за разрядом, и цифру 0 (хоть называет ее словом). То есть те самые вещи, которых не хватало древним грекам и древним римлянам в их математике и астрономии. Еще через сотни лет эти открытия дойдут до исламского мира, а через него - до Европы, и в 12-м веке, как раз когда в Индии уже другой Бхаскара, второй, будет делать свои открытия, Фибоначчи в Европе познакомит ученых своего времени с "арабскими" цифрами. А еще через 500 лет после этого работы Ньютона приведут в конечном итоге к пониманию тригонометрии и математики вообще, позволяющем гораздо точнее вычислять синусы и находить приближенные формулы, превосходящие по точности гениальное озарение Бхаскары-первого.