![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Если p - нечетное простое число (а все простые числа нечетные, кроме 2), то при делении на 4 оно может дать остаток либо 1, либо 3. Важная и красивая теорема в теории чисел, которую впервые сформулировал Ферма (но не следует путать ее с знаменитой последней теоремой Ферма), гласит, что если остаток равен 1, то такое простое число p можно представить в виде суммы квадратов. Например, 17 - простое число с остатком 1 при делении на 4, и действительно можно записать 17 = 12 + 42. Например, 41 - такое число, и можно записать 41 = 25+16 = 52 + 42.
У этой теоремы есть много доказательств, но все они не элементарны в том смысле, что их нельзя в одну минуту "на пальцах" объяснить нематематику. Одно из них, однако, выглядит особенно простым и красивым, почти "магическим", потому что его можно практически записать "в одну строку". Его можно прочитать в Википедии, например. В том виде, в каком оно представлено, нематематикам, во-первых, нелегко его понять, а во-вторых, совершенно неясно, как к такому можно придти, т.е. оно как бы висит в воздухе, взявшись "ниоткуда" (и в этом, возможно, состоит немалая часть его красоты).
Эта запись - попытка длинного и подробного "разоблачения" этого доказательства, в том смысле, что я постараюсь с помощью как можно более элементарных рассуждений - вовсе необязательно тех, которыми руководствовался придумавший это доказательство первоначально математик - придти к нему. Одна из тем, которые меня занимают - это вопрос о пользе - или, наоборот, о бесполезности - такого рода "разоблачительных" рассуждений в преподавании математики. Очень часто в математике доказательство той или иной теоремы пишется так, что "заметаются следы", т.е. все в доказательстве понятно, кроме того, как до этого дойти: почему выбрать именно такое построение, а не другое, почему подставить именно такую формулу, а не другую, итд. Мне всегда кажутся интересными попытки сделать по-другому, попытки подсказать читателю, откуда взялся тот или иной ход во время доказательства, хотя бы краткой подсказкой, а можно - как в этой записи - подробным рассмотром всего процесса. Конечно, у такого метода объяснений есть и свои недостатки - например, он очень длинен. Вместо доказательства "в одну строку" я накатал тут гигантскую запись, которая вовсе необязательно кому-то вообще будет интересна: математикам в ней все тривиально, а другим, возможно, слишком долго, занудно, и в итоге все равно малопонятно. Но я решил попробовать, в том числе и для себя, любопытства ради.
Итак, пусть p = 1+4k. Мы хотим найти такие x,y, что x2+y2 = p. Знаем ли мы что-либо о таких возможных x,y? Поскольку p - нечетное число, то один из квадратов должен быть четным, другой - нечетным. Скажем (без ограничения общности), что x2 нечетное число, y2 четное. Тогда x нечетное число, y четное, т.е. y = 2y',
и p = x2 + (2y')2 = x2 + 4y'2.
Это выражение немного похоже на 1+4k - случайно ли это? ( Read more... )
У этой теоремы есть много доказательств, но все они не элементарны в том смысле, что их нельзя в одну минуту "на пальцах" объяснить нематематику. Одно из них, однако, выглядит особенно простым и красивым, почти "магическим", потому что его можно практически записать "в одну строку". Его можно прочитать в Википедии, например. В том виде, в каком оно представлено, нематематикам, во-первых, нелегко его понять, а во-вторых, совершенно неясно, как к такому можно придти, т.е. оно как бы висит в воздухе, взявшись "ниоткуда" (и в этом, возможно, состоит немалая часть его красоты).
Эта запись - попытка длинного и подробного "разоблачения" этого доказательства, в том смысле, что я постараюсь с помощью как можно более элементарных рассуждений - вовсе необязательно тех, которыми руководствовался придумавший это доказательство первоначально математик - придти к нему. Одна из тем, которые меня занимают - это вопрос о пользе - или, наоборот, о бесполезности - такого рода "разоблачительных" рассуждений в преподавании математики. Очень часто в математике доказательство той или иной теоремы пишется так, что "заметаются следы", т.е. все в доказательстве понятно, кроме того, как до этого дойти: почему выбрать именно такое построение, а не другое, почему подставить именно такую формулу, а не другую, итд. Мне всегда кажутся интересными попытки сделать по-другому, попытки подсказать читателю, откуда взялся тот или иной ход во время доказательства, хотя бы краткой подсказкой, а можно - как в этой записи - подробным рассмотром всего процесса. Конечно, у такого метода объяснений есть и свои недостатки - например, он очень длинен. Вместо доказательства "в одну строку" я накатал тут гигантскую запись, которая вовсе необязательно кому-то вообще будет интересна: математикам в ней все тривиально, а другим, возможно, слишком долго, занудно, и в итоге все равно малопонятно. Но я решил попробовать, в том числе и для себя, любопытства ради.
Итак, пусть p = 1+4k. Мы хотим найти такие x,y, что x2+y2 = p. Знаем ли мы что-либо о таких возможных x,y? Поскольку p - нечетное число, то один из квадратов должен быть четным, другой - нечетным. Скажем (без ограничения общности), что x2 нечетное число, y2 четное. Тогда x нечетное число, y четное, т.е. y = 2y',
и p = x2 + (2y')2 = x2 + 4y'2.
Это выражение немного похоже на 1+4k - случайно ли это? ( Read more... )
